مدل های سیگمای یاکوبی

در طی سال های اخیر مدل سیگمای پوآسون توجه فراوانی را به خود جلب کرده است.این مدل از یک طرف توسط شالرو استروبل به عنوان تعمیم سیستم یانگ میلز-گرانش دو بعدی و از طرف دیگر بوسیله ایکدابه عنوان بسط غیر خطی نظریه پیمانه ای ساخته شد. مدل سیگمای پوآسون، مدل سیگمایی است که فضای هدف آن خمینه پوآسون است. اهمیت زیاد این مدل بدلیل امکان انتخاب ساختارهای پوآسون مختلف روی خمینه هدف است. مدل سیگمای پوآسون مدل های زیر را شامل می شود : مدل سیگمای توپولوژیک، مدلbf توپولوژیک ، مدل یانگ میلز دوبعدی، مدل گرانشی دوبعدی و مدل wzw پیمانه ای شده. در زبان نظریه پیمانه ای، مدل سیگمای پوآسون دارای جبر پیمانه ای باز است. در چنین مواردی روش فادیو- پوپوف برای کوانتش انتگرال مسیر با شکست مواجه می شود. حتی روش کوانتش قویتر یعنی نظریه brst نیز بغیر از چند ساختار پوآسون خاص، کاربرد ندارد. دلیل این امر آن است که هردو روش برای ساختن متغیرهای فیزیکی، به خاطر پوچ توانی عملگرbrst متناظر، به کوهمولوژی خوش تعریف نیاز دارند. روش مناسب که در این موارد کاربرد دارد، فرمالیسمbrst به روش باتالین-ویلکوفسکی است. مانند روش brst معمولی این روش نیز برمبنای بسط فضای فاز می باشد با این تفاوت که به ازای هر میدان، یک پاد میدان تعریف می شود، بطوریکه میدان ها و پادمیدان ها همیوغ کانونی یکدیگر هستند و به یک ساختار همتافته فرد در فضای فاز منجر می شوند. خمینه یاکوبی نیز برای اولین بار بوسیله لیش نورایز و برروی جبر لی موضعی به وسیله کیریلو معرفی شد. خمینه یاکوبی تعمیمی از خمینه پوآسون، خمینه فشرده وهمچنین خمینه همدیس همتافته می باشد. فضای توابع خمینه یاکوبی مجهز به براکت یاکوبی است که تمام خواص براکت پوآسون را دارد بغیر از اینکه ضرورتا مشتق نمی باشد. در این پایان نامه برای نخستین بار مدل سیگمای یاکوبی را خواهیم ساخت. مدل سیگمای یاکوبی را مدل سیگمایی تعریف می کنیم که فضای هدف آن خمینه یاکوبی است. با توجه به اینکه خمینه یاکوبی تعمیمی از خمینه پوآسون است، مدل سیگمای یاکوبی تعمیمی از مدل سیگمای پوآسون می باشد. همانطور که قبلا گفته شد مدل سیگمای پوآسون پنج مدل توپولوژیک دوبعدی را شامل می شود. هدفمان بررسی این موضوع است که آیا مدل سیگمای یاکوبی علاوه بر این پنج مدل، مدل های توپولوژیک دو بعدی دیگری را نیز شامل می شود؟ در این پایان نامه با بررسی چندین ساختار مختلف روی فضای هدفمان نشان می دهیم که مدل سیگمای یاکوبی، چهار مدل توپولوژیک دوبعدی که عبارتند از : مدل سیگمای توپولوژیک، مدلbf توپولوژیک تعمیم یافته، مدل یانگ میلز دو بعدی تعمیم یافته و مدل گرانشی دوبعدی تعمیم یافته را شامل می شود. فصل بندی پایان نامه بصورت زیر است : در فصل اول مروری بر مدل سیگمای پوآسون خواهیم داشت و معادلات حرکت، تقارن و همچنین مدل های میدان دو بعدی ای که شامل می شود را مطرح خواهیم کرد. در فصل دوم بعداز معرفی خمینه یاکوبی، ساختار آن را روی گروه بدست خواهیم آورد. سپس برای نخستین بار مدل سیگمای یاکوبی را خواهیم ساخت و ساختارهای مختلف روی فضای هدفمان را مطالعه خواهیم کرد. در فصل سوم تقارن brst به روش bv را مطرح خواهیم کرد که روش کاربردی برای کوانتش انتگرال مسیر در نظریه های پیمانه ای است که دارای جبر پیمانه ای باز هستند. همانطور که قبلا گفته شد مدل سیگمای پوآسون دارای جبر پیمانه ای باز است و برای کوانتش انتگرال مسیر در این مدل از این روش استفاده می شود و اگر مدل سیگمای یاکوبی نیز دارای جبر پیمانه ای باز باشد، می توانیم برای کوانتش انتگرال مسیر آن از این روش استفاده کنیم.